x^{2} - 4 - x^{2} - 9 = 5 x^{2} - 4 и x^{2} - 9 под знаком модуля

В задании дано уравнение |x² - 4| - |x² - 9| = 5. Однако, сопровождающее требование к нему отсутствует. По всей видимости, составители задания хотели решить это уравнение. Анализ данного уравнения показывает, что в его левой части (которую обозначим через L) участвуют абсолютные значения (модули) алгебраических выражений. При решении уравнения, естественно, воспользуемся определением и свойствами абсолютного значения. Прежде всего, отметим, что |x² - 4| = x² - 4 при x² - 4 ≥ 0 и |x² - 4| = - (x² - 4) при x² - 4 < 0. Аналогично, что |x² - 9| = x² - 9 при x² - 9 ≥ 0 и |x² - 9| = - (x² - 9) при x² - 9 < 0. Решая приведённые выше неравенства, убеждаемся, что данное уравнение нужно рассматривать для следующих множеств: (-∞; - 3], (-3; - 2), [-2; 2), [2; 3) и [3; + ∞). Пусть х ∈ (-∞; - 3]. Тогда, x² - 4 > 0 и x² - 9 > 0, следовательно, L = (x² - 4) - (x² - 9) = x² - 4 - x² + 9 = 5. Значит, все точки множества (-∞; - 3] являются решениями данного уравнения. Пусть х ∈ (-3; - 2). Тогда, x² - 4 > 0 и x² - 9 < 0, следовательно, L = (x² - 4) - ( - (x² - 9)) = x² - 4 + x² - 9 = 2 * x² - 13. В этом случае, имеем: 2 * x² - 13 = 5 или x² = 9, откуда х = ±3 ∉ (-3; - 2). Значит, все точки множества (-3; - 2) не могут быть решениями данного уравнения. Пусть х ∈ [-2; 2). Тогда, x² - 4 ≤ 0 и x² - 9 < 0, следовательно, L = - (x² - 4) - ( - (x² - 9)) = - x² + 4 + x² - 9 = - 5 ≠ 5. Значит, все точки множества [-2; 2) не могут быть решениями данного уравнения. Пусть х ∈ [2; 3). Тогда, x² - 4 ≥ 0 и x² - 9 < 0, следовательно, L = (x² - 4) - ( - (x² - 9)) = x² - 4 + x² - 9 = 2 * x² - 13. В этом случае, имеем: 2 * x² - 13 = 5 или x² = 9, откуда х = ±3 ∉ [2; 3). Значит, все точки множества [2; 3) не могут быть решениями данного уравнения. Наконец, пусть х ∈ [3; + ∞). Тогда, x² - 4 > 0 и x² - 9 > 0, следовательно, L = (x² - 4) - (x² - 9) = x² - 4 - x² + 9 = 5. Значит, все точки множества [3; + ∞) являются решениями данного уравнения. Таким образом, данное уравнение имеет решения, принадлежащие объединению множеств: (-∞; - 3] ∪ [3; + ∞).

Ответ: х ∈ (-∞; - 3] ∪ [3; + ∞).