Из пункта A на прогулку вышел пешеход со скоростью ν км / ч. После того как он отошел от A на 6 км, из A следом за ним выехал велосипедист, скорость которого была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Когда велосипедист догнал пешехода, они повернули назад и возвратились вместе A в со скоростью 4 км/ч при каком значении ν время прогулки пешехода окажется наименьшим?

1. Скорость пешехода равна: Vn км/час; 2. Скорость велосипедиста: Vb км/час; 3. Разностная скорость велосипедиста и пешехода равна: Vp км/час; Vp = Vb - Vn = 9 км/час (по условию задачи); 4. Расстояние удаления пешехода равно: Sy = 6 км; 5. Вычислим время, за которое велосипедист догонит пешехода с момента своего выезда: Td час; Td = Sy / Vp = 6 / 9 = 2/3 часа; 6. За это время пешеход пройдет расстояние: S1 км; S1 = Vn * Td = Vn * (2/3) км; 7. Величина обратного пути: So = Sy + Sd = 6 + 2/3 * Vn = (18 + 2 * Vn) / 3 км; 8. Скорость движения на обратном пути: Vo = 4 км/час; 9. Время их возвращения в пункт А: To = So / Vo = ((18 + 2 * Vn) / 3) / 4 = (1,5 + Vn / 6) час; 10. Общее время прогулки пешехода равно: T час; T = Ty + Td + To = Sy / Vn + 2/3 + 1,5 + Vn / 6 = (6 / Vn + Vn / 6) + 13/6 час; 11. В данном случае надо найти наименьшее значение функции: F (Vn) = 6 / Vn + Vn / 6. Вычислим ее первую производную и приравняем ее к нулю: F' (Vn) = 1/6 - 6 / Vn² = 0; Vn² = 36; Vn = = - 6; Отрицательный корень не имеет смысла; Vn = 6 км/час; T = 6 / 6 + 6 / 6 + 13 / 6 = 37/6 часа = 4 часа 20 мин. Ответ: при скорости 6 км/час продолжительность прогулки пешехода будет наименьшей.