Cosx*tgx+cosx+tgx+1=0

Решите уравнение:

cosx * tgx + cosx + tgx + 1 = 0.

Допустимые значения переменной

Прежде чем решить уравнение, следует найти допустимые значения переменной х, что в данном примере означает найти область определения функций cosx и tgx:

функция cosx определена при любом значении x, поэтому x ∈ Z;

функция tgx определена, когда cosx ≠ 0, следовательно, x ≠ π / 2 + π * k, k ∈ Z.

Таким образом, допустимые значения переменной:

x ≠ π / 2 + π * k, k ∈ Z.

Разложение на множители левой части уравнения

Выделим общий множитель cosx:

cosx * tgx + cosx + tgx + 1 = 0;

cosx * (tgx + 1) + (tgx + 1) = 0.

Выделим общий множитель tgx + 1:

(tgx + 1) * (cosx + 1) = 0.

Решение двух независимых уравнений

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[tgx + 1 = 0

[cosx + 1 = 0

[tgx = - 1

[cosx = - 1

Решим каждое уравнение в отдельности:

1) Функция tgx принимает значение - 1, когда синус и косинус равны по величине, но противоположны по знаку:

tgx = - 1; x = - π / 4 + π * k, где к - целое число.

2) Функция cosx принимает значение - 1, при x = π, с периодом 2 * π:

cosx = - 1; x = π + 2 * π * k, где к - целое число.

Оба решения входят в область допустимых значений переменной x, поэтому объединение этих корней и будет решением для исходного уравнения.

Ответ: - π / 4 + π * k; π + 2 * π * k, к ∈ Z.

tg x = sin x / cos x - подставляем в исходное выражение:

cos x * sin x / cos x + cos x + sin x / cos x + 1 = 0

sin x + cos x + sin x / cos x + 1 = 0 Приводим к общему знаменателю:

sin x * cos x + cos^2 x + sin x + cos x = 0

Группируем 1 и 2 слагаемое и выносим за скобки cos x:

cos x * (sin x + cos x) + (sin x + cos x) = 0

(sin x + cos x) * (cos x + 1) = 0

Равенство имеет решение, когда:

1. sin x = - cos x,

х = - П / 4 + Пn

2. cos x = - 1,

x = П + 2 Пn