Найдите наименьшее значение функции у=√х^2+12 х + 40 (всё под корнем)

1. Найдем первую производную функции у = √ (х^2 + 12 х + 40):

у' = (2 х + 12) / (2 * (√ (х^2 + 12 х + 40)) = (2 * (х + 6)) / (2 * (√ (х^2 + 12 х + 40)) = (х + 6) / (√ (х^2 + 12 х + 40)).

2. Приравняем эту производную к нулю:

(х + 6) / (√ (х^2 + 12 х + 40)) = 0;

х + 6 = 0;

√ (х^2 + 12 х + 40) ≠ 0;

х = - 6;

х^2 + 12 х + 40 ≠ 0;

D = b^2 - 4ac = 144 - 4 * 40 = 144 - 160 = - 16.

D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

3. Найдем значение функции:

у (-6) = √ (36 - 72 + 40) = √4 = 2.

4. Найдём вторую производную:

у" = ((-х - 6) * (х + 6)) / ((х^2 + 12 х + 40) ^3/2) + 1 / (√ (х^2 + 12 х + 40) = 4 / ((х^2 + 12 х + 40) ^3/2).

5. Вычислим значение производной:

у" (-6) = 4 / (36 - 72 + 40) ^3/2 = 4 / (4^3/2) = 4 / (4 * √4) = 1/2 > 0, тогда это точка минимума.

Ответ: fmin = 2.