Существуют ли такие натуральные числа m, n, k, что все три числа m^2+n+k, n^2+k+m, k^2+m+n являются квадратами натуральных чисел?

Запишем условие.

Нам заданы три натуральных числа m, n, и k.

Нужно ответить на вопрос: являются ли числа, заданные выражениями:

m^2 + n + k; n^2 + k + m; k^2 + m + n,

квадратами натуральных чисел?

Решать задачу будем используя алгоритм:

допустим, что утверждение верно; запишем утверждения, которые должны выполняться; приходим к противоречию. Допустим, что утверждение верно

Предположим что существуют такие m, n и k, для которых выполняются условия заданные в задаче, что m^2 + n + k; n^2 + k + m; k^2 + m + n являются квадратами натуральных чисел.

Вспомним определение натурального числа.

Натуральные числа - это числа, которые используются для счета: 1, 2, 3, ..., n, ...

Множество натуральных чисел принято обозначать символом N.

Запишем утверждения, которые должны выполняться

Если выражение m^2 + n + k является квадратом натурального числа, то должно выполнятся неравенство:

m^2 + n + k > (m + 1) ^2 (квадрат натурального числа должен быть больше квадрата следующего за ним натурального числа).

Упростим неравенство:

m^2 + n + k > m^2 + 2m + 1;

n + k > m^2 - m^2 + 2m + 1;

n + k > 2m + 1.

Аналогичное неравенство получаем и для двух других выражений:

n^2 + k + m > (n + 1) ^2;

n^2 + k + m > n^2 + 2n + 1;

k + m > n^2 - n^2 + 2n + 1;

k + m > 2n + 1.

И последнее неравенство:

k^2 + n + m > (k + 1) ^2;

k^2 + n + m > k^2 + 2k + 1;

n + m > k^2 - k^2 + 2k + 1;

n + m > 2k + 1.

Приходим к противоречию

Теперь сложим все три полученные неравенства:

n + k > 2m + 1;

k + m > 2n + 1;

n + m > 2k + 1.

2n + 2k + 2m > 2n + 2k + 2m + 3;

2 (n + k + m) > 2 (n + k + m) + 3.

В результате мы получили не верное неравенство.

Вывод: натуральных чисел, которые бы удовлетворяли заданным условиям не существует.