Log1/3 (log4 (x^2-1)) меньше и равно 1

В задании дано логарифмическое неравенство log_⅓ (log₄ (x² - 1)) ≤ 1. Однако, сопровождающее требование к нему отсутствует. Решим данное неравенство. Сначала определим множество тех значений х, для которых данное неравенство имеет смысл. Оно имеет смысл, если выполнятся следующие два неравенства: x² - 1 > 0 и log₄ (x² - 1) > 0. Неравенство x² - 1 > 0 справедливо, если х ∈ М, где М = (-∞; - 1) ∪ (1; + ∞). Второе неравенство перепишем в виде log₄ (x² - 1) > log₄ Поскольку 4 > 1, то это неравенство выполнится, если x² - 1 > 1, откуда х ∈ Q, где Q = x ≠ 0. Итак, данное неравенство имеет смысл, если х ∈ М ∩ Q. Поскольку М ∩ Q = М, то областью допустимых значений х, при которых имеет смысл данное неравенство, является множество М. Теперь переходим к решению данного неравенства. Если х ∈ М, то, из-за 0 < ⅓ < 0, данное неравенство равносильно неравенству log₄ (x² - 1) ≥ ⅓. Учитывая 4 > 1, перепишем последнее неравенство в виде x² - 1 ≥ 4^⅓. Решим последнее неравенство. Имеем: x² ≥ 1 + 4^⅓ или - √ (1 + ³√ (4)) ≤ х ≤ √ (1 + ³√ (4)). Это неравенство выполнится, если х ∈ Р, где Р = (-∞; - √ (1 + ³√ (4)) ] ∪ [√ (1 + ³√ (4)); + ∞). Очевидно, что - √ (1 + ³√ (4)) < - 1 и √ (1 + ³√ (4)) < 1, следовательно, Р ⊂ М. Это означает, что решением данного неравенства является множество Р.

Ответ: х ∈ Р, где Р = (-∞; - √ (1 + ³√ (4)) ] ∪ [√ (1 + ³√ (4)); + ∞).