Обозначим через f (n) наибольший нечетный делитель числа натурального числа n. Найдте f (101) + f (102) + f (103) + ... + f (200)

1. Простой множитель 2 не влияет на значение функции f (n) для четного аргумента:

f (2n) = f (n),

а для нечетного аргумента:

f (2n + 1) = 2n + 1.

2. Обозначим сумму значений функции для всех нечетных значений аргумента на промежутке от m до n:

S1 (m, n),

для всех четных значений аргумента:

S2 (m, n),

а для всех значений аргумента:

S (m, n).

3. Последовательно сведем вычисление функции для четных значений n к нечетным значениям:

S = S (101, 200); S = S1 (101, 199) + S2 (102, 200); S = S1 (101, 199) + S (51, 100); S = S1 (101, 199) + S1 (51, 99) + S2 (52, 100); S = S1 (51, 199) + S (26, 50); S = S1 (51, 199) + S1 (27, 49) + S2 (26, 50); S = S1 (27, 199) + S (13, 25); S = S1 (27, 199) + S1 (13, 25) + S2 (14, 24); S = S1 (13, 199) + S (7, 12); S = S1 (13, 199) + S1 (7, 11) + S2 (8, 12); S = S1 (7, 199) + S (4, 6); S = S1 (7, 199) + f (4) + f (5) + f (6); S = S1 (5, 199) + f (2) + f (3); S = S1 (3, 199) + f (1); S = S1 (1, 199).

4. Для нечетного аргумента f (2n + 1) = 2n + 1, поэтому S1 (1, 199) представляет собой сумму всех нечетных чисел от 1 до 199:

S = S1 (1, 199) = (1 + 199) / 2 * 100 = 10 000.

Ответ: 10 000.