Обозначим через f (n) наибольший нечетный делитель числа натурального числа n. Найдтие f (101) + f (102) + f (103) + ... + f (200)

1. Наибольший нечетный делитель натурального числа n найдем, если разделим это число на 2 до тех пор, пока не получим нечетное число. Следовательно, его можно представить в виде:

n = 2^k * f (n), k = 0; 1; 2; ...

2. Если два числа n1 < n2 имеют один и тот же наибольший нечетный делитель:

f (n1) = f (n2),

то отношение этих чисел не меньше 2:

n1 = 2^k1 * f (n1);

n2 = 2^k2 * f (n2);

n2 : n1 = 2^ (k2 - k1) ≥ 2^1 = 2.

3. Но для любых двух чисел от 101 до 200:

n2 : n1 ≤ 200 : 101 < 2.

Таким образом, все 100 чисел от 101 до 200 имеют различные нечетные делители. Поскольку нечетных чисел от 1 до 199 тоже 100, то каждое нечетное число встречается ровно один раз. А для суммы нечетных чисел от 1 до 199 получим:

S = 100 * (1 + 199) / 2 = 100 * 200 / 2 = 100 * 100 = 10 000.

Ответ: 10 000.