Два игрока по очереди извлекают шары из коробки, содержащей три белых и четыре красных шара. Выигравшим считается тот, кто первым извлечет белый шар. Найти вероятность выигрыша для каждого игрока. Рассмотреть два случая: а) извлеченный шар возвращается в коробку; б) шар не возвращается в коробку.

1. Дано:

n1 = 3 белых шара; n2 = 4 красных шара; n = 7 всего шаров.

2. Найдем вероятности событий A и B - выигрыша каждого игрока соответственно:

а) извлеченный шар возвращается в коробку:

P (A) = 3/7 + 4/7 * 3/6 * (3/5 + 2/5 * 1/4); P (A) = 3/7 + 4/7 * 1/2 * (6/10 + 1/10); P (A) = 3/7 + 4/7 * 1/2 * 7/10 = 3/7 + (4 * 1 * 7) / (7 * 2 * 10) = 15/35 + 7/35 = 22/35; P (B) = 1 - P (A) = 13/35.

б) шар не возвращается в коробку:

P (A) [1] = 3/7; P (A) [2] = (4/7) ^2 * P (A) [1]; P (A) [i + 1] = (4/7) ^2 * P (A) [i]; b1 = 3/7; q = (4/7) ^2; P (A) = b1 / (1 - q^2) = 3/7 : (1 - (4/7) ^2) = 3/7 : (1 - 16/49) = 3/7 : 33/49 = 3/7 * 49/33 = (3 * 49) / (7 * 33) = 7/11; P (B) = 4/11.

Ответ:

а) P (A) = 22/35; P (B) = 13/35; б) P (A) = 7/11; P (B) = 4/11.