Докажите, что при любом значении a верно неравенство: 2a / (черта дроби) 1+a2 (a в квадрате) < 1

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю.

2a / (1 + a²) < 1.

2a / (1 + a²) - 1 < 0.

(2a - 1 - a²) / (1 + a²) < 0.

(-a² + 2a - 1) / (1 + a²) < 0.

Вынесем минус в числителе дроби:

- (a² - 2a + 1) / (1 + a²) < 0.

Свернем скобку в числителе по формуле квадрата разности.

- (a - 1) ² / (1 + a²) < 0.

Рассмотрим знаки числителя и знаменателя.

(1 + a²) - значение всегда положительно (квадрат всегда положителен, 1 плюс положительное число равно положительное число).

(a - 1) ² - значение всегда положительно (квадрат числа всегда положителен).

- (a - 1) ² - всегда отрицательно.

Следовательно, левая часть неравенства будет всегда отрицательно при любом значении а, то есть получается верное неравенство.