Решите уравнение 1) 2cos^2x+cosx-1=0 2) 4sin^2+11sinx-3=0 3) V3 tgx - V3 ctgx=2 4) sin2x+V3 cos2x=1

№1. 2cos² (х) + cos (x) - 1=0;

Решим как квадратное уравнение. По следствию из теоремы Виета:

cos (x) = - 1 или

cos (x) = 1/2.

х = п + 2 пn, где n - целое число.

х = п/3 + 2 пn, где n - целое число.

х = - п/3 + 2 пn, где n - целое число.

№2. 4sin² (х) + 11sin (x) - 3=0.

Решим квадратное уравнение:

D = 121 + 4 * 4 * 3 = 169, √D = 13,

sin (x) = (-11 + 13) / 8;

sin (x) = (-11 - 13) / 8;

sin (x) = 1/4, х = arcsin (1/4) + 2 пn или х = п - arcsin (1/4) + 2 пn, где n - целое число

sin (x) = - 3 - нет решений, синус не бывает меньше - 1.

Ответ: х = arcsin (1/4) + 2 пn или х = п - arcsin (1/4) + 2 пn, где n - целое число.

№3. √3tg (x) - √3ctg (x) = 2.

ОДЗ: и синус, и косинус не равны 0, значит, х п/4 * n, где n - целое число.

√3tg (x) - √3 / tg (x) = 2;

Умножим обе части уравнения на tg (x) не равный 0:

√3tg² (x) - √3 = 2tg (x);

√3tg² (x) - 2tg (x) - √3 = 0;

Решим квадратное уравнение, получим:

tg (x) = 3/√3 = √3;

tg (x) = - √3/3;

х = п/3 + пn, где n - целое число,

х = - п/6 + пn, где n - целое число.

№4. sin (2x) + √3cos (2x) = 1.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

sin² (2x) + 2 * sin (2x) * √3cos (2x) + 3cos² (2x) = 1;

sin² (2x) + cos² (2x) + 2 * sin (2x) * √3cos (2x) + 2cos² (2x) = 1;

1 + 2 * sin (2x) * √3cos (2x) + 2cos² (2x) = 1;

2 * sin (2x) * √3cos (2x) + 2cos² (2x) = 0;

sin (2x) * √3cos (2x) + cos² (2x) = 0;

cos (2x) * (√3sin (2x) + cos (2x)) = 0;

Равносильно совокупности:

cos (2x) = 0; (1)

√3sin (2x) + cos (2x) = 0; (2)

Решим (1):

2 х = п/2 + пn, где n - целое число.

x = п/4 + п/2 * n, где n - целое число.

Решим (2):

Разделим обе части уравнения на cos (2x), не равный 0:

√3tg (2x) + 1 = 0;

tg (2x) = - 1/√3 = - √3/3;

2x = - п/6 + пn, где n - целое число.

x = - п/12 + п/2 * n, где n - целое число.

Ответ:

x = п/4 + п/2 * n, где n - целое число.

x = - п/12 + п/2 * n, где n - целое число.