после выпуска из школы ученики обменялись фотографиями. сколько было учеников, если для обмена потребовалось 420 фотографий?

Если каждый выпускник должен вручить каждому однокласснику по одной фотографии, то следовательно у каждого школьника комплект фотографий, равный количеству учеников, за минусом единицы, так как себе фотографию ученик не оставляет. Следовательно, если принять количество учеников за k, количество фотографий у каждого ученика составит:

k - 1;

И значит всего фотографий:

k * (k - 1);

Учитывая, что количество фотографий известно, можно составить и решить уравнение:

k * (k - 1) = 420;

k² - k - 420 = 0;

Применив теорему Виета, получим:

(k - 21) * (k + 20) = 0;

k - 21 = 0;

k = 21;

k + 20 = 0;

k = - 20;

Очевидно, что отрицательный корень можно отбросить. Следовательно в классе 21 ученик.

Решать можно было в уме подбором. Если предположить, что ученик оставляет себе фотографию тоже, то получится, что количество фотографий должно составлять полный квадрат количества учащихся. Следовательно, так как ученик себе фотографий не оставляет, 420 меньше ближайшего квадрата на количество человек в классе, при этом этот ближайший квадрат составляет число учеников в квадрате. 400 - квадрат числа 20, 441 - квадрат числа 21;

441 - 420 = 21.

21² = 441.

Следовательно учеников в классе 21.