Медвежонок придумал три различных натуральных числа, сумма которых делится на каждое из них и загадал зайцу. Заяц подумал и ответил медвежонку. Какие числа назвал заяц?

1. Предположим, медвежонок задумал три натуральных числа: a, b и c, и пусть:

a < b < c.

Тогда:

a + b + c = ma; (1) a + b + c = nb; (2) a + b + c = kc, (3) где m, n и k - тоже натуральные числа, причем: k < n < m.

2. Из уравнений (1), (2) и (3) получим:

1/m = a / (a + b + c); (4) 1/n = b / (a + b + c); (5) 1/k = c / (a + b + c). (6)

3. Сложим уравнения (4), (5) и (6):

1/m + 1/n + 1/k = (a + b + c) / (a + b + c); 1/m + 1/n + 1/k = 1. (7)

4. Из уравнения (7) следует, что k > 1. Допустим k ≥ 3. Тогда:

1/m + 1/n + 1/k < 3 * 1/k ≤ 3 * 1/3 = 1.

Для k остается единственное значение:

k = 2; 1/m + 1/n + 1/2 = 1; 1/m + 1/n = 1/2.

Аналогично найдем значение для n. При n ≥ 4 имеем:

1/m + 1/n < 2 * 1/n ≤ 2 * 1/4 = 1/2.

Значит, n = 3:

1/m + 1/3 = 1/2; 1/m = 1/6; m = 6.

5. Подставив значения m = 6, n = 3, k = 2 в уравнения (1), (2), (3) и решив несложную систему, найдем задуманные числа:

{a + b + c = 6a;

{a + b + c = 3b;

{a + b + c = 2c; {b + c = 5a;

{a + c = 2b;

{a + b = c; {b + a + b = 5a;

{a + a + b = 2b;

{a + b = c; {2b = 4a;

{2a = b;

{a + b = c; {b = 2a;

{c = 3a.

Ответ. Любая тройка чисел: (a; 2a; 3a), a ∈ N. Например: (1; 2; 3).