Сколько неупорядоченных пар взаимно простых чисел среди 2,3, ...,30? Напомним, что два целых числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих натуральных делителей, отличных от единицы.

Пары взаимно простых чисел четных чисел

Рассмотрим первое число предложенного ряда - 2. Его взаимно простыми числами будут все нечетные или 14 чисел, соответственно 14 пар.

Остальные четные числа 4,6, 8, ..., 30 - всего 14 чисел - также образуют по 14 пар взаимно простых чисел с нечетными или 196 пар.

Пары взаимно простых чисел нечетных чисел

Дальше рассмотрим нечетные числа 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 и 29 по отношению к нечетным.

Число 3 образует пары взаимно простых чисел с нечетными, которые не кратны 3: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25 и 29 - 9 пар.

Число 5 образует пары взаимно простых чисел с нечетными, которые не кратны ему, и больше 5: 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27 и 29 - 10 пар.

Для числа 7 аналогично: 9, 11, 13, 15, 17, 19, 23, 25, 27 и 29 - 10 пар.

Для числа 9: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25 и 29 - 9 пар.

Для числа 11: 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 и 29 - 9 пар.

Для числа 13: 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27 и 29 - 8 пар.

Для числа 15: 17, 19, 21, 23, 25, 27 и 29 - 7 пар.

И так далее:

число 17 - 6 пар, 19 - 5 пар, 21 - 4 пары, 23 - 3, 25 - 2, последнее число 27, у которого 1 пара.

В результате нечетные числа с нечетными образуют 9 + 10 + 10 + 9 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 63 пары взаимно простых чисел.

Таким образом, четные числа и нечетные образуют 14 + 196 + 63 = 273 пары взаимно простых чисел.

Итак, 273 пары взаимно простых чисел в ряду 2, 3, ..., 30.

Подсчитаем количество пар взаимно простых чисел, начиная с числа 2:

2) (29 - 3) / 2 + 1 = 14; 3) 29 - 4 + 1 = 26; 26 - 8 = 18; 4) (29 - 5) / 2 + 1 = 13; 5) 6 - 29: 24 - 4 = 20; 6) 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29: 8; 7) 8 - 30: 23 - 3 = 20; 8) (29 - 9) / 2 + 1 = 11; 9) 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23, 25, 26, 28, 29: 14; 10) 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29: 8; 11) 12 - 30: 19 - 1 = 18; 12) 13, 17, 19, 23, 25, 29: 6; 13) 14 - 30: 17 - 1 = 16; 14) 15, 17, 19, 23, 25, 27, 29: 7; 15) 16, 17, 19, 22, 23, 26, 28, 29: 8; 16) (29 - 17) / 2 + 1 = 7; 17) 18 - 30: 13 18) 19, 23, 25, 29: 4 19) 20 - 30: 11 20) 21, 23, 27, 29: 4; 21) 22, 23, 25, 26, 29: 5; 22) 23, 25, 27, 29: 4 23) 24 - 30: 7; 24) 25, 29: 2; 25) 26; 27; 28; 29: 4; 26) 27; 29: 2; 27) 28; 29: 2; 28) 29: 1; 29) 30: 1.

14 + 18 + 13 + 20 + 8 + 20 + 11 + 14 + 8 + 18 + 6 + 16 + 7 + 8 + 7 + 13 + 4 + 11 + 4 + 5 + 4 + 7 + 2 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 248.

Ответ: 248 пар.

У Марины рассуждения правильные, только при подсчете несколько ошибок. Для 9 будет не 9 пар, а 7 (вычеркиваем 15 и 21). Для 15 будет не 7 пар, а 4 (вычеркиваем 21, 25 и 27). Для 21 будет не 4 пары, а 3 (вычеркиваем 27 - только 23, 25 и 29). Поэтому в результате получим 287 (у Марины подсчет пар нечетных с нечетными дает 83, а не 63 - там, видимо, просто описка, и результат должен был получиться 293).