В ряд выложены 2013 черных и 2013 красных шаров, причём самый левый и самый правый шары чёрные. Всегда ли можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, чтобы среди них количество красных равнялось количеству чёрных?

Нет, не всегда. Самый простой способ доказать это - выбрать два подряд стоящих шара красного цвета.

Так как по условию задачи количество шаров черного и красного цвета одинаковое, а начинается и завершается ряд черными шарами, то из этого следует, что в представленном ряду, по крайней мере, один раз шары красного цвета будут стоять рядом.