Найти значение производной функции у=5x^4+3arctgx при данном х=-1

Найдём производную функции: y = 5x^4 + 3arctg x.

Воспользовавшись формулами:

(arctg x) ' = 1 / (1 + х^2) (производная основной элементарной функции).

(xn) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с*u) ' = с*u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (5x^4) ' = 5 * 4 * х^ (4-1) = 20 * х^3 = 20 х^3;

2) (3arctgx) ' = 3 * 1 / (1 + х^2) = 3 / (1 + х^2).

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = (5x^4 + 3arctg x) ' = (5x^4) ' + (3arctg x) ' = 20 х^3 + 3 / (1 + х^2).

Вычислим значение производной в точке х0 = - 1/

y' ( - 1) = 20 * ( - 1) ^3 + 3 / (1 + ( - 1) ^2) = 20 * ( - 1) + 3 / (1 + 1) = - 20 + 3 / 2 = - 20 + 1,5 = - 18,5.

Ответ: y' = 20 х^3 + 3 / (1 + х^2), а y' ( - 1) = - 18,5.