Решить найдите наименьшее натуральное число n обладающее следующим свойством все цифры в десятичной записи числа 9n равны 1

Число 9n должно делиться на 9 без остатка.

Как известно, число делится на 9 если сумма его цифр делится на 9. Так как все цифры числа 9n единицы, то наименьшим из чисел 9n будет число, состоящее из девяти единиц: 111 111 111.

Вычислим n:

n = 111 111 111 / 9 = 12 345 679.

Ответ: 12 345 679.

Признак делимости для числа 9

Как и в случае деления натурального числа на 3, для 9 также существует аналогичный признак делимости:

натуральное число делится на 9 в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 9.

Например, число 783 делится на 9, и сумма его цифр также делится на 9:

783 : 9 = 87; 7 + 8 + 3 = 18; 18 : 9 = 2. Количество цифр числа 9n

Произведение 9n, очевидно, делится без остатков на число 9. А если, по условию задачи, в десятичной записи это число состоит из одних единиц, то для того, чтобы произведение 9n было кратно 9, необходимо, чтобы количество единиц M, входящих в число 9n, также было кратно 9:

M = 9 * m, где m - любое натуральное число: m ∈ N.

Наименьшее исходное число

Но поскольку ищем наименьшее натуральное число n, удовлетворяющее этому условию, то необходимо найти наименьшее среди тех чисел, которые в десятичной записи состоят из одних единиц. А это произойдет, очевидно, в том случае, если количество единиц числа 9n также примет наименьшее значение, т. е. при условии:

m = 1, следовательно

M (min) = 9 * 1 = 9.

Таким образом, произведение числа 9 и наименьшего исходного числа n содержит ровно 9 единиц:

9n = 111 111 111, отсюда получим n = 111 111 111 : 9; n = 12 345 679.

Ответ: 12 345 679.