Существует ли четырёхзначное натуральное число с различными ненулевыми цифрами, обладающее свойством если к нему прибавить это же число, записанное в обратном порядке, то получится число делящееся на 101

1. Пусть четырехзначное число x состоит из ненулевых цифр a, b, c и d:

x = abcd = 1000a + 100b + 10c + d.

2. Число у, записанное в обратном порядке:

y = dcba = 1000d + 100c + 10b + a.

3. Найдем сумму чисел:

x + y = 1000a + 100b + 10c + d + 1000d + 100c + 10b + a; x + y = 1001a + 110b + 110c + 1001d; x + y = 1001 (a + d) + 110 (b + c).

4. Составим сравнение по модулю 101:

x + y ≡ 1001 (a + d) + 110 (b + c) (mod 101); x + y ≡ (1010 - 9) (a + d) + (101 + 9) (b + c) (mod 101); x + y ≡ 9 (b + c) - 9 (a + d) (mod 101); x + y ≡ 9 ((b + c) - (a + d)) (mod 101). (1)

5. Из сравнения (1) следует, что x + y делится на 101 при условии:

b + c = a + d.

Например:

x = 3456; y = 6543; x + y = 9999 = 99 * 101.

Ответ: существует.