Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если разность между пятым и третьим членами равна 72, а разность между четвертым и вторым равна 36.

Дано: (b_n) - геометрическая прогрессия;

b₅ - b₃ = 72, b₄ - b₂ = 36;

Найти: q - ?

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^ (n-1), где:

b₁ - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии.

Выразим 2-й, 3-й, 4-й и 5-й члены прогрессии через формулу n-го члена:

b₂ = b₁ * q^ (2-1) = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q^ (3-1) = b₁ * q^2;

b₄ = b₁ * q^ (4-1) = b₁ * q^3;

b₅ = b₁ * q^ (5-1) = b₁ * q^4;

Т. о. b₅ - b₃ = b₁ * q^4 - b₁ * q^2 = 72;

b₄ - b₂ = b₁ * q^3 - b₁ * q = 36.

Составим и решим систему уравнений:

b₁ * q^4 - b₁ * q^2 = 72, (1)

b₁ * q^3 - b₁ * q = 36 (2)

Преобразуем уравнения:

b₁ * q^2 * (q^2 - 1) = 72, (1)

b₁ * q * (q^2 - 1) = 36 (2)

Выразим b₁ из (1) уравнения системы:

b₁ = 72 / q^2 * (q^2 - 1).

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

72 / q^2 * (q^2 - 1) * q * (q^2 - 1) = 36;

72 q * (q^2 - 1) / q^2 * (q^2 - 1) = 36;

Произведём сокращения в числителе и знаменателе дроби и получим:

72 / q = 36;

q = 72 : 36;

q = 2.

Подставив значение q в (1) уравнение системы, можем так же вычислить первый член заданной геометрической прогрессии: b₁ = 72 / 2^2 * (2^2 - 1) = 6.

Ответ: q = 2.