Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6

Обозначим через х наименьшее из данных трех последовательных натуральных чисел. Тогда остальные два числа будут равны х + 1 и х + 2.

Докажем, что одно из этих чисел обязательно делится на два.

Если число х не делится на 2, то оно дает при делении на 2 остаток 1 и число х можно записать в виде 2k + 1, где k - некоторое целое число. В таком случае число х + 1 будет равно 2k + 1 + 1 = 2k + 2 и, следовательно, число х + 1 будет делиться на 2.

Итак, мы показали, что одно из чисел х и х + 1 будет обязательно делится на 2.

Докажем, что одно из данных трех последовательных натуральных чисел обязательно делится на три.

Если число х не делится на 3, то оно дает при делении на 3 остаток 1 или остаток 2.

Если число х при делении на 3 дает остаток 1, то число х можно представить в виде 3k + 1, где k - некоторое целое число. В таком случае число х + 2 будет равно 3k + 1 + 2 = 3k + 3 и, следовательно, число х + 2 будет делиться на 3.

Если число х при делении на 3 дает остаток 2, то число х можно представить в виде 3k + 2, где k - некоторое целое число. В таком случае число х + 1 будет равно 3k + 2 + 1 = 3k + 3 и, следовательно, число х + 1 будет делиться на 3.

Итак, мы показали, что одно из чисел х, х + 1 и х + 2 будет обязательно делится на 3. Кроме того, одно из чисел х и х + 1 будет обязательно делится на 2.

Следовательно, произведение х * (х + 1) * (х + 2) будет обязательно делится на 2*3 = 6.