Разложите на множители 1) 81 - (x^2+6x) ^2, 1) c^2+4c+4-k^2, 3) a^2-b^2-10b-25.

Решение:

1). Раскладываем как разность квадратов а² - b² = (a - b) (а + b), потом одну из скобок "сворачиваем" как квадрат разности:

81 - (х² + 6 х) ² = (9 - х² - 6 х) (9 + х² + 6 х) = (х² + 6 х + 9) ( - х² - 6 х + 9) = (х + 3) ² ( - х² - 6 х + 9).

Найдём корни квадратного уравнения - х² - 6 х + 9 = 0:

- х² - 6 х + 9 = 0;

D = b² - 4ac = ( - 6) ² - 4 ∙ ( - 1) ∙ 9 = 36 + 36 = 72;

x₁ = ⁽⁻ ^b ⁻ ^{√ D}⁾ / _(2a) = ⁽⁶ ⁻ ^{√ 72)} / ₋₂ = ⁽⁶ ⁻ ^{6√ 2)} / ₋₂ = - 3 + 3√ 2 = - (3 - 3√ 2);

x₂ = ⁽⁻ ^{b + √ D}⁾ / _(2a) = ⁽⁶ ⁺ ^{√ 72)} / ₋₂ = ⁽⁶ ⁺ ^{6√ 2)} / ₋₂ = - 3 - 3√ 2 = - (3 + 3√ 2).

Итоговое разложение на множители будет выглядеть так:

(х + 3) ² (х + 3 - 3√ 2) (х + 3 + 3√ 2).

2). Три первых слагаемых представляют квадрат суммы, упростим по формуле (а + b) ² = (а² + 2ab + b²):

(с² + 4 с + 4) - k² = (с + 2) ² - k².

Разложим по формуле а² - b² = (a - b) (а + b):

(с + 2) ² - k² = (с + 2 - k) (с + 2 + k).

3). Выражение b² + 10b + 25 является разложением формулы (а + b) ² = (а² + 2ab + b²), упростим его:

а² - (b² + 10b + 25) = а² - (b + 5) ².

С помощью разности квадратов а² - b² = (a - b) (а + b) раскладываем на множители:

а² - (b + 5) ² = (а - b - 5) (а + b + 5).

Ответ: 1). 81 - (х² + 6 х) ² = (х + 3) ² (х + 3 - 3√ 2) (х + 3 + 3√ 2); 2). (с² + 4 с + 4) - k² = (с + 2) ² - k²; 3). а² - (b² + 10b + 25) = (а - b - 5) (а + b + 5).