Докажите, что всякое нечетное число, начиная с 3, является разностью последовательных квадратов натуральных чисел.

Заметим, что любое нечетное число N можно представить в виде:

N = 2 * k + 1, где k - целое число.

Проведем преобразования:

N = 2 * k + 1 = 2 * k + 1 + k^2 - k^2 = (k^2 + 2 * k + 1) - k^2 = (k + 1) ^2 - k^2.

Для положительных нечетных чисел N имеем, что k > = 0.

При к = 0, выражение полученное выше, обращается:

2 * 0 + 1 = (0 + 1) ^2 - 0^2.

Следовательно, при k > = 1 и N >=3 имеем:

N = (k + 1) ^2 - k^2, где k и (k + 1) являются последовательными натуральными числами,

что и требовалось доказать.