Найти производную функции f (x) = cosx (1+sinx)

1. Производная от произведения двух выражений:

(uv) ' = uv' + vu';

f (x) = cosx (1 + sinx);

f' (x) = cosx * (1 + sinx) ' + (1 + sinx) * (cosx) ';

f' (x) = cosx * cosx + (1 + sinx) * (-sinx);

f' (x) = cos^2 (x) - sinx - sin^2 (x).

2. Для косинуса двойного угла применим формулу:

cos (2x) = cos^2 (x) - sin^2 (x), отсюда

f' (x) = cos (2x) - sinx.

Ответ: f' (x) = cos (2x) - sinx.