Сумма любых 4 х из 5 натуральных чисел делится на 7 доказать что каждое из чисел делится на 7

1. Пусть n1, n2, n3, n4 и n5 - натуральные числа, и сумма любых четырех чисел кратна 7:

n1 + n2 + n3 + n4 = 7k5; (1) n1 + n2 + n3 + n5 = 7k4; (2) n1 + n2 + n4 + n5 = 7k3; (3) n1 + n3 + n4 + n5 = 7k2; (4) n2 + n3 + n4 + n5 = 7k1. (5)

2. Сложим обе части всех уравнений:

4 (n1 + n2 + n3 + n4 + n5) = 7 (k1 + k2 + k3 + k4 + k5).

Число 7 простое, поэтому:

n1 + n2 + n3 + n4 + n5 = 7k. (*)

3. Вычтя из уравнения (*) каждое из уравнений (1), (2), (3), (4) и (5), получим:

ni = 7 (k - ki), где i = 1, 2, 3, 4, 5.

Каждое из чисел ni делится на 7, что и требовалось доказать.