Докажите, что при любом n выражение (4n+1) ^2 - (3n-1) ^2 делится на 7

Чтобы некоторая сумма (а данное выражение является суммой) делалась на 7, надо чтобы каждое ее слагаемое делилось на 7. Для начала раскроем квадраты суммы и разности:

(4n+1) ^2 - (3n-1) ^2 = 16n^2 + 8n + 1 - (9n^2 - 6n + 1) = 16n^2 + 8n + 1 - 9n^2 + 6n - 1;

Теперь приведем подобные слагаемые:

16n^2 + 8n + 1 - 9n^2 + 6n - 1 = 7n^2 + 14n;

Теперь каждое слагаемое в сумме делится на 7, а значит, и вся сумма делится на 7, не зависимо от n.

Чтобы показать это еще более явно, можно вынести 7 в качестве множителя за скобку:

7n^2 + 14n = 7 * (n^2 + 14).