Вычислить приближенно с помощью дифференциала. 1) ∛310 2) ⁴√158 3) √х² + 3 х+5, х=1,14

1,2^5

1) Воспользуемся формулой f (x) = f (x0) + (f (x0)) ' * Δx.

310 = 343 - 33 = 7^3 + 33.

(x^1/3) ' = 1/3 * (x) ^ (-2/3).

(310) ^1/3 = 7 - 1/3 * (7) ^ (-2/3) * 33 = 7 - 11/49 ≈ 6,8.

2) 158 = 128 + 30.

((x) ^ (1/4)) ' = 1/4 * x^ (-3/4).

(158) ^1/4 = 2^ (3/2) + 1/4 * 2^ (9/8) * 30 ≈ 3,5.

3) x = 1,14 = 1 + 0,14.

(√ (x^2 + 3x + 5)) ' = 1/2 * (x^2 + 3x + 5) ^ (1/2) * (2x + 3).

√ ((1,14) ^2 + 3 * 1,14 + 5) = √9 + 1/2 * √9 * (2 * 0,14 + 3) = 3 + 1/6 * 3,28 ≈ 4.

Приближенное значение при помощи дифференциала вычисляется по формуле f (x₀ + Δx) = f (x₀) + f' (x₀) * Δx, где (x₀ + Δx) - это значение числа с его приращением, Δx - приращение.

Вычисление значения при помощи дифференциала

Для того, чтобы высчитать приближенное значение, нужно придерживаться следующего алгоритма:

Определить приращение значения (на сколько единиц наша функция отличается от дифференцируемого значения, то есть такого, из которого функция хорошо высчитывается); найти производную функции; найти производную от дифференцируемого значения; подставить все данные в формулу и посчитать значение. Найдем приращение функции

1) ∛310

Из 310 корень третьей степени не высчитывается, а из 343 можно высчитать корень третьей степени (это 7). Возьмем за х₀ число 343.

х₀ = 343

x₀ + Δx = 310

Δx = 310 - 343 = - 33 (приращение равно - 33)

f (x) = ∛x

Найдем производную функции.

f' (x) = 1/3 * (х) ^{1/3 - 1} = 1/3 * х^-2/3 = 1 / (3 х^2/3) = 1 / (3∛x²)

Найдем производную от 343.

f' (x₀) = f' (343) = 1 / (3 * 49) = 1/147

Подставляем все в формулу и считаем.

f (x₀ + Δx) = f (343 - 33) = ∛343 + 1/147 * ( - 33) = 7 - 33/147 = 7 - 11/49 = 6 38/49

2) ⁴√158

Корень 4 степени высчитывается из 81 (это 3). Возьмем за х₀ число 81.

х₀ = 81

x₀ + Δx = 158

Δx = 158 - 81 = 77

f (x) = ⁴√158

f' (x) = 1/4 * x^{1/4 - 1} = 1/4 * x^-3/4 = 1 / (4 ⁴√x³)

f' (81) = 1 / (4 ⁴√81³) = 1 / (4 * 27) = 1/108

⁴√158 = ⁴√81 + 1/108 * 77 = 3 + 77/108 = 3 77/108

3) √ (х² + 3 х + 5) при х = 1,14

Если будем подставлять 1,14, вычисления усложняются и квадратный корень потом не вычисляется. Возьмем за х₀ число 1.

х₀ = 1

x₀ + Δx = 1,14

Δx = 1,14 - 1 = 0,14

f (x) = √ (х² + 3 х + 5) = (х² + 3 х + 5) ^1/2

f' (x) = 1/2 * (х² + 3 х + 5) ^1-1/2 * (х² + 3 х + 5) ' = (2x + 3) / 2 * (х² + 3 х + 5) ^-1/2 = (2x + 3) / (2 (х² + 3 х + 5) ^1/2) = 1 / (2√ (х² + 3 х + 5))

f' (1) = (2 + 3) / (2 * √ (1 + 3 + 5)) = 5 / (2 * √ 9) = 5/6

f (1,14) = √ (1² + 3 * 1 + 5) + 5/6 * 0,14 = √9 + 70/600 = 3 + 7/60 = 3 7/60