Найдите остаток от деления на 209 числа 20!+16^3 (K!=1/cdot2/cdot3/cdot/ldots/cdot K).

Для того, чтобы найти, какой остаток от деления на 209, нужно разложить на множители это число.

209 = 11 * 19.

Теперь рассмотрим варианты деления на числа 11 и 19 каждого слагаемого выражения (20! + 16^3). Значок факториал означает произведение чисел от 1 до 20. Распишем:

(1 * 2 * ... * 11 * ... 19 * 20 + 16^3) : (11 * 19). Видно, что первое слагаемое полностью разделится на (11 * 19), так как произведение содержит множителями числа 11 и 19. Посмотрим, какой остаток от деления на 11 * 19 у числа 16^3. Так как общих множителей нет, то вычислим 16^3/209 = 4096/209 = 19 + 125. Это и есть остаток от деления - 125.