Сколько среди чисел 1,2,3 ... 50 таких, которые равны сумме всех своих простых делителей

1. Произведение двух или более различных простых чисел, очевидно, больше их суммы, а любое составное число не меньше произведения своих простых делителей. Следовательно, сумма простых множителей составного числа не может равняться этому числу, а простое число равно единственному своему простому множителю - самому себе.

2. Из этого следует, что данному условию удовлетворяют лишь простые числа. Среди натуральных же чисел от 1 до 50 простыми являются следующие числа:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,

всего 15 чисел.

Ответ: 15 чисел.

Произведение и сумма натуральных чисел

Для решения задачи предварительно докажем следующее утверждение.

Произведение двух или более натуральных чисел, не считая единицы, больше их суммы. Единственным исключением из этого правила является произведение двух двоек, которое равно их сумме:

2 * 2 = 2 + 2.

Действительно, для произведения двух чисел a и b, при условии что

a ≥ 2; b ≥ 2,

имеем:

a * b ≥ 2 * b; (1)

a * b ≥ 2 * a. (2)

Сложив эти неравенства, получим:

2 * a * b ≥ 2 * (a + b);

a * b ≥ a + b. (3)

Заметим, что если одно из чисел a или b больше 2, то одно из неравенств (1) или (2), а значит и (3) будет строгим неравенством.

Очевидно, таким же образом можем доказать, что произведение более двух натуральных чисел, не равных единице, больше их суммы,

причем, в этом случае неравенство строгое даже для двоек. Например, для трех двоек имеем:

2 * 2 * 2 = 8; 2 + 2 + 2 = 6; 8 > 6. Произведение простых множителей составного числа

Если простые множители составного числа встречаются только в первой степени, т. е. один раз, то их произведение равно

исходному составному числу. Например:

6 = 2 * 3. 30 = 2 * 3 * 5.

Если же хотя бы один простой множитель встречается более одного раза, то, очевидно, их произведение меньше исходного числа. Например:

12 = 2^2 * 3; 2 * 3 < 12.

Следовательно, в любом случае, произведение простых множителей составного числа не больше самого числа.

С учетом предыдущего утверждения можем заключить, что сумма простых множителей составного числа всегда меньше самого составного числа. Притом, утверждение верно даже для числа 4 - несмотря на то, что сумма двух двоек равна их произведению, однако число 4 имеет единственный простой множитель 2.

Простые числа

Что же касается простых чисел, то поскольку само число является единственным простым делителем, то можно условно сказать, что сумма простых делителей в этом случае совпадает с самим числом. Особым случаем является единица, которая, не являясь ни простым и ни составным числом, вовсе не имеет простых делителей, т. е. для него также не выполняется условие задачи.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют только простые числа в указанном диапазоне:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, всего 15 чисел.

Ответ: 15 чисел.