Решите неравенство методом равносильных преобразований (x-1) ·√x²+1≤x²-1 (x²+1-полностью под корнем)

1. Преобразуем:

(x - 1) √ (x^2 + 1) ≤ x^2 - 1; (x - 1) √ (x^2 + 1) - (x^2 - 1) ≤ 0; (x - 1) √ (x^2 + 1) - (x + 1) (x - 1) ≤ 0; (x - 1) (√ (x^2 + 1) - (x + 1)) ≤ 0.

2. Исследуем функции:

f (x) = x - 1; g (x) = √ (x^2 + 1) - (x + 1);

Корни:

√ (x^2 + 1) - (x + 1) = 0; √ (x^2 + 1) = x + 1; {x^2 + 1 = (x + 1) ^2;

{x + 1 ≥ 0; {x^2 + 1 = x^2 + 2x + 1;

{x + 1 ≥ 0; {2x = 0;

{x ≥ - 1; x = 0.

Промежутки знакопостоянства:

x ∈ (-∞; 1); f (x) <0; x ∈ (1; ∞); f (x) > 0. x ∈ (-∞; 0); f (x) 0; x ∈ (0; 1); f (x) < 0; g (x) <0; x ∈ (1; ∞); f (x) > 0; g (x) < 0.

3. Решение неравенства:

x ∈ (-∞; 0] ∪ [1; ∞).

Ответ: (-∞; 0] ∪ [1; ∞).