Найдите наименьшее значение функции y=7+12x-x3

Найдем производную функции.

f (x) = 7 + 12x - x³.

f' (x) = 12 - 3 х².

Приравняем производную к нулю.

12 - 3 х² = 0.

-3 х² = - 12;

3 х² = 12;

х² = 4

х¹ = - 2.

х² = 2.

Определяем знаки производной на каждом промежутке. Производная является квадратичной параболой, значит знаки производной будут:

(-∞; - 2) производная (+), функция возрастает.

(-2; 2) производная (-), функция убывает.

(2; + ∞) производная (+), функция возрастает.

Точка - 2 - это точка максимума функции.

Точка 2 - это точка минимума функции.

Вычислим наименьшее значение функции:

х = 2; у = 7 + 12 * 2 - 2³ = 7 + 24 - 8 = 23.

Ответ: наименьшее значение функции равно 23.