Найдите наименьшее значение выражения. x^2 + y^2 - 2x + 4y

Имеем выражение:

x^2 + y^2 - 2 * x + 4 * y.

Найдем его минимальное значение.

С первого взгляда кажется, что определить минимальное значение выражения невозможно, но мы преобразуем наше выражение - породим и сразу же уничтожим некое число:

x^2 + y^2 - 2 * x + 4 * y = x^2 - 2 * x * 1 + 1 + y^2 + 2 * y * 2 + 4 - 5 = (x - 1) ^2 + (y + 2) ^2 - 5.

Получили сумму трех слагаемых - двух квадратов неких чисел и минус пяти.

Квадраты будут принимать неотрицательные значения, а, значит, их минимальные значения - нули.

Допустим, x = 1, y = - 2, тогда значение выражения - - 5. При любых других значениях переменных значение выражения будет больше.