Найти частное решение дифференциального уравнения y"-6y'+9y=0 если y=3 y'=-6 при x=0

Для заданого дифференциального уравнения второго порядка составим характеристическое уравнение:

k² - 6k + 9 = 0.

Найдем его дискриминант D = 6² - 9*4 = 36 - 36 = 0. Так как дискриминант равен нулю, корни характеристического уравнения действительны и равны, а решение дифференциального уравнения имеет вид: y (x) = (C1 * x + C2) * e^ (k * x), где C1 и C2 - константы.

Найдем k:

k = - ((-6) / (2 * 1)) = 6 / 2 = 3.

Следовательно, y (x) = (C1 * x + C2) * e^ (3x).

Первая производная: y' (x) = ((C1 * x + C2) * e^ (3x)) ' = C1 * e^ (3x) + (C1 * x) * 3 * e^ (3x) = C1 * e^ (3x) * (1 + 3x).

Так как y' (0) = - 6, и при этом y' (0) = C1 * e^0 * (1 + 0) = С1 * 1 * 1 = C1, то C1 = - 6.

Так как y (0) = 3, и при этом y (0) = (C1 * 0 + C2) * e^0 = C2, то С2 = 3.

Отсюда, частное решение уравнения: y (x) = (3 - 6x) * e^ (3x).

Ответ: y (x) = (3 - 6x) * exp (3x).