1) Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющими переменными xy'+y=0 2) Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными (1-x^2) dx/dy + xy = 0, если x=0, y=4. 3) Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка x^2 + y^2-2xy*y'=0 4) Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка y" - 4y' + 4y=0, 5) Найти частное решение дифференциального уравнения 2-го порядка y"+4y'-5y=0, если x=0, y=4, y'=2

1. xy' + y = 0;

xy' = - y;

xdy/dx = - y;

x/dx = - y/dy;

ln|x| = - ln|y| + C;

ln|x| = - ln|y| + ln|C|;

ln|y| = ln|C| - ln|x|;

y = C/x;

2. (1 - x²) dx/dy + xy = 0;

(1 - x²) dx/dy = - xy;

((1-x²) / x) dx = - ydy;

1/xdx - xdx = - ydy;

lnx - x²/2 + C = - y²/2;

-y² = 2lnx - x² + C;

y² = x² - 2lnx + C;

y = + - sqrt (x² - 2lnx + C);

4 = + - sqrt (0 - 2ln0 + C);

Подлогарифмическое выражение не может быть равно 0 = > нет частных решений с такими начальными условиями.

3. x² + y² - 2xy * y' = 0;

x² + y² - 2xy * dy/dx = 0;

(Лх²) ² + (Лу²) ² - 2 Лхуу' = 0;

x² + y² - 2xyy' = 0 - уравнение является однородным;

y = ux, y' = u'x + u;

x² + u²x² - 2xux (u'x + u) = 0;

x² (1 + u² - 2uu'x - 2u²) = 0;

x = 0, 1 - u² - 2uu'x = 0;

u' = (1 - u²) / 2ux;

du/dx = (1 - u²) / 2ux;

du² / (1 - x) = dx/x;

ln|1 / (1 - u²) | = ln|Cx|;

1 / (1 - u²) = Cx;

x² / (x² - y²) = Cx;

4. y'' - 4y' + 4 = 0;

y = e^kx;

Характ. урав-е:

k2 - 4k + 4 = 0;

(k - 2) = 0;

k1,2 = 2;

y = C1y1 + C2y2 = C1e^2x + C2xe^2x - Общее решение;

5. y'' + 4y' - 5y = 0;

y = e^kx;

k² + 4k - 5 = 0

(k + 2) ² - 9 = 0;

k + 2 = + - 3;

k1 = 1, k2 = - 5;

Общее реш.:

y = C1e^x + C2e^-5x;

y' = C1e^x - 5C2e^-5x;

Нач. услов.

Система 4 = С1 + С2;

2 = С1 - 5 С2;

С1 = 11/3, C2 = 1/3;

y = 11/3e^x + 1/3e^-5x - частное решение.