1. Определить и обосновать вид дифференциального уравнения (ДУ) 1-го порядка. Найти его общее решение и, при наличии начальных условий, также и частное решение. x^2y'+xy=lnx, y (0) = 0

Найдём производную нашей данной функции: f (х) = (1 / 4) * x^2 + (1 / 16) * x + (1 / 4).

Воспользуемся основными правилами и формулами дифференцирования:

(x^n) ' = n * x^ (n-1).

(с) ' = 0, где с - const.

(с * u) ' = с * u', где с - const.

(u ± v) ' = u' ± v'.

(uv) ' = u'v + uv'.

y = f (g (x)), y' = f'u (u) * g'x (x), где u = g (x).

То есть, производная данной нашей функции будет следующая:

f (x) ' = ((1 / 4) * x^2 + (1 / 16) * x + (1 / 4)) ' =

((1 / 4) * x^2) ' + ((1 / 16) * x) ' + ((1 / 4)) ' = (1 / 4) * 2 * x + (1 / 16) * 1 + 0 = (x / 2) + (1 / 16).

Ответ: Производная данной нашей функции f (x) ' = (x / 2) + (1 / 16).