Найти частное решение дифференциального уравнения. y'' - y = 4ex, y (0) = 0, y' (0) = 1

1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' - y = 0.

Решим его характеристическое уравнение:

k^2 - 1 = 0;

k1 = - 1; k2 = 1.

Общее решение соответствующего однородного уравнения:

yо = C1 * e^x + C2 * e^ (-x).

2) Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

yч = A * x * e^x.

Найдем производные:

(yч) ' = A * e^x + A * x * e^x;

(yч) '' = A * e^x + A * e^x + A * x * e^x = 2 * A * e^x + A * x * e^x.

Подставим в исходное дифференциальное уравнение и найдем A:

2 * A * e^x + A * x * e^x - A * x * e^x = 4 * e^x;

2 * A * e^x = 4 * e^x;

2 * A = 4;

A = 2.

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

yч = 2 * x * e^x.

3) Общее решение дифференциального уравнения:

y = yо + yч = C1 * e^x + C2 * e^ (-x) + 2 * x * e^x.

4) Найлём производную общего решения:

y' = C1 * e^x - C2 * e^ (-x) + 2 * e^x + 2 * x * e^x.

Подставим начальные условия и, решив совместно два уравнения, найдем коэффициенты C1 и C2:

0 = C1 * e^0 + C2 * e^0 + 2 * 0 * e^0; 1 = C1 * e^0 - C2 * e^0 + 2 * e^0 + 2 * 0 * e^0.

0 = C1 + C2; 1 = C1 - C2 + 2.

C1 = - 1/2; C2 = 1/2.

Частное решение дифференциального уравнения:

y = - 1/2 * e^x + 1/2 * e^ (-x) + 2 * x * e^x.