Площадь прямоугольного треугольника = 210 см^2, гипотенуза = 37 см. Найти периметр. (системой уравнений)

Пусть один катет прямоугольного треугольника равен х см, а второй катет этого треугольника равен у см. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов, т. е. ½ ху см^2 или 210 см^2. По теореме Пифагора сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, т. е. x^2 + y^2 = 37^2. Составим систему уравнений и решим ее.

½ xy = 210; x^2 + y^2 = 37^2 - выразим из первого уравнения переменную х через у;

xy = 210 * 2;

xy = 420;

x = 420/y - подставим во второе уравнение вместо х выражение 420/х;

(420/y) ^2 + y^2 = 37^2;

176400 / (y^2) + y^2 = 1369;

176400 / (y^2) + (y^4) / (y^2) = (1369y^2) / (y^2);

176400 + y^4 = 1369y^2;

y^4 - 1369y^2 + 176400 = 0;

введем новую переменную y^2 = t;

t^2 - 1369t + 176400 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 1369) ^2 - 4 * 176400 = 1874161 - 705600 = 1168561; √D = 1081;

x = ( - b ± √D) / (2a);

t1 = (1369 + 1081) / 2 = 2450/2 = 1225;

t2 = (1369 - 1081) / 2 = 144.

Выполним обратную подстановку:

1) y^2 = 1225;

y1 = 35 (см) - второй катет; y2 = - 35 - посторонний корень, т. к. длина не может быть отрицательной;

2) y^2 = 144;

y3 = 12 (см) - второй катет; y4 = - 12 - посторонний корень.

Найдем значения х:

1) x1 = 420/35 = 12 (см) - первый катет;

2) x3 = 420/12 = 35 (см) - первый катет.

Катеты могут быть 12 см и 35 см или 35 см и 12 см, что одно и то же.

Ответ. 12 см, 35 см.