Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций Задача: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а периметр треугольника = 40 см. Найдите катеты прямоугольного треугольника.

1) Пусть х см - длина одного катета, у см - длина второго катета.

2) По теореме Пифагора можно записать равенство:

х^2 + у^2 = 17^2;

х^2 + y^2 = 289.

3) (х + у + 17) см - периметр заданного треугольника, который равен 40 см. Поэтому запишем еще одно равенство:

х + у + 17 = 40.

4) Решим систему уравнений:

х^2 + y^2 = 289;

х + у + 17 = 40.

Выразим значение х через у из второго уравнения:

х = 23 - у.

Подставим это значение в первое уравнение и решим его относительно у:

(23 - у) ^2 + у^2 = 289;

529 - 46 у + у^2 + y^2 - 289 = 0;

2y^2 - 46y + 240 = 0;

у^2 - 23 у + 120 = 0.

По теореме Виета находим, что у₁ = 15, у₂ = 8.

Теперь вычислим возможные значения х:

при у₁ = 15

х₁ = 23 - 15 = 8;

при у₂ = 8

х₂ = 23 - 8 = 15.

5) Находим, что катеты заданного треугольника равны 8 и 15 см.

Ответ: 8 и 15 см.