При делении натурального числа "a" на 8, в остатке получается 7. Найдите остаток от деления числа 2a+1 на 7.

Прежде всего, обратим внимание на то, что во многих источниках это задание встречается в виде: "При делении натурального числа a на 8, в остатке получается 7. Найдите остаток от деления числа 2 * a + 1 на 8." Сначала решим задачу в такой постановке (предположим, что составитель задания допустил опечатку; вместо 8 написал 7). Очевидно, что если при делении натурального числа a на 8, в остатке получается 7, то существует неотрицательное целое число k, для которого справедливо равенство a = 8 * k + 7. Вычислим 2 * a + 1 = 2 * (8 * k + 7) + 1 = 2 * 8 * k + 2 * 7 + 1 = 16 * k + 15 = 8 * (2 * k + 1) + 7, то есть, 2 * a + 1 = 8 * (2 * k + 1) + 7. Это равенство означает, что остаток от деления числа 2 * a + 1 на 8 равно 7, так как для всех неотрицательное целых чисел k, число 2 * k + 1 является натуральным числом. Ответ: 7. Теперь решим данное задание без изменения условия. Пусть k - неотрицательное целое число. Тогда, имеем: 2 * a + 1 = 2 * (8 * k + 7) + 1 = 2 * 8 * k + 2 * 7 + 1 = 16 * k + 15 = 14 * k + 14 + 2 * k + 1 = 7 * 2 * (k + 1) + 2 * k + 1. Очевидно, что число 7 * 2 * (k + 1) делится на 7. Однако, число 2 * k + 1 является нечётным числом при любом неотрицательном целом k и при делении его на 7 может получиться любой из 6 остатков: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Действительно, при k = 0, имеем 2 * k + 1 = 2 * 0 + 1 = 1 и 1 = 0 * 7 + 1 - остаток 1; при k = 1, имеем 2 * k + 1 = 2 * 3 + 1 = 3 и 3 = 0 * 7 + 3 - остаток 3; при k = 2, имеем 2 * k + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 и 5 = 0 * 7 + 5 - остаток 5; при k = 4, имеем 2 * k + 1 = 2 * 4 + 1 = 9 и 9 = 1 * 7 + 2 - остаток 2; при k = 5, имеем 2 * k + 1 = 2 * 5 + 1 = 11 и 11 = 1 * 7 + 4 - остаток 4; при k = 6, имеем 2 * k + 1 = 2 * 6 + 1 = 13 и 13 = 1 * 7 + 6 - остаток 6. Ответ: любое из чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6.