Может ли сумма каких-то 2015 последовательных натуральных чисел быть равна сумме каких-то 2016 последовательных натуральных чисел? подробно

1. Предположим, имеем последовательные натуральные числа:

a1, a2, ... a2015; b1, b2, ... b2016,

и пусть их суммы равны:

S (a) = S (b).

2. Поскольку в обоих случаях имеем арифметическую прогрессию с разностью d = 1, то для сумм их членов получим:

S (a) = 2015 (2a1 + 2014); S (b) = 2016 (2b1 + 2015). 4030a1 - 4032b1 - 2016 * 2015 + 2014 * 2015 = 0; 4030a1 - 4032b1 - 2015 (2016 - 2014) = 0; 4030a1 - 4032b1 - 4030 = 0; 4030 (a1 - 1) = 4032b1; 2015 (a1 - 1) = 2016b1.

3. Числа 2015 и 2016 взаимно простые, поэтому:

{a1 - 1 = 2016k;

{b1 = 2015k; {a1 = 2016k + 1;

{b1 = 2015k,

где k ∈ N.

4. Для любого значения k имеем две последовательности натуральных чисел, удовлетворяющих условию задачи. Например, при k = 1 получим:

a1 = 2017; S (a) = 2015 (2 * 2017 + 2014) = 12 186 720; b1 = 2015; S (b) = 2016 (2 * 2015 + 2015) = 12 186 720.

Ответ: может.