Пусть p простое число, большее 5. Докажите, что p - 4 не может быть четвертой степе - нью целого числа.

Воспользуемся методом доказательства от противного.

Допустим, существует такое целое число с, что разность простого числа р, большего чем 5 и числа 4 равна числу с в 4-й степени.

Тогда имеет место следующее соотношение:

р - 4 = с^4,

откуда следует, что:

р = с^4 + 4.

Преобразуем выражение в левой части данного соотношения следующим образом:

с^4 + 4 = (с^2) ^2 + 2^2 = (с^2) ^2 + 2^2 + 2 * с^2 * 2 - 2 * с^2 * 2 = (с^2) ^2 + 2 * с^2 * 2 + 2^2 - (2 с) ^2 = (с^2 + 2) ^2 - (2 с) ^2 = (с^2 + 2 + 2c) * (с^2 + 2 - 2c).

Так как p > 5, то c > 1 и с^2 + 2 + 2c > 1 и с^2 + 2 - 2c = с^2 - 2 с + 1 + 1 = (с - 1) ^2 + 1 > 1.

Следовательно, число р мы представили в виде произведения двух чисел, каждое из которых больше, чем 1, что означает, что число р составное.

Следовательно, мы пришли к противоречию, что означает, что выражение p - 4 не может быть четвертой степенью целого числа.