3. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах - одно штрафное очко, за каждый последующий - на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Зная количество штрафных очков, мы можем посчитать количество промахов. Затем определив разницу между общим количеством выстрелов и промахов, получим число попаданий в цель.

1) Ищем количество промахов.

Что является задачей на арифметическую прогрессию (см. пояснение).

По формуле суммы арифметической прогрессии.

S = ((2*a1 + (n-1) * d) * n) / 2.

Приходим к квадратному уравнению для нахождения n

2*a1*n + n^2*d - d*n - 2*S = 0;

Подставляем наши числа и находим число промахов n (a1=1, d = 0,5, S=7).

2*1*n + 0,5*n^2 - 0,5*n - 14 = 0;

0,5*n^2 + 1,5*n - 14 = 0;

n^2 + 3*n - 28 = 0;

D = 9 + 28 * 4 = 9 + 112 = 121;

n = (-3 + 11) / 2 = 4;

Количество промахов равно 4.

Второе решение квадратного уравнения, отбрасываем как не имеющее смысла для данной задачи (отрицательного числа промахов быть не может).

2) Ищем количество попаданий.

25 - 4 = 21.

Ответ: 21 раз стрелок попал в цель.

Пояснение.

Арифметическая прогрессия это числовая последовательность вида

a1, a1+d, a1+2d, ..., a1 + (n-1) d.

Где a1 это первый член прогрессии, а d это её шаг.

Т. е. такая числовая последовательность где, начиная со второго числа каждое последующее, является суммой предыдущего и шага прогрессии.

Для нашей задачи а1 = 1 (одно штрафное очко), d = 0,5.

Таким образом, в нашем случае мы имеем вид прогрессии

1, 1.5, 2, 2,5 ... 1 + n*0.5, где n это количество шагов.

Умозрительно и без решения квадратного уравнения можно заметить, что сумма первых четырёх членов прогрессии равна 7 (1 + 1,5 + 2 + 2,5 = 7).