Найдите значение выражения: ³√ (2+√5) + ³√ (2-√5) =

В задаче требуется вычислить значение выражения А:

А = ∛ (2 + √5) + ∛ (2 - √5);

Выражение для куба (a + b)

Под кубическим корнем в первом слагаемом стоит выражение В1:

В1 = 2 + √5;

и во втором:

В2 = 2 - √5;

Если допустить, что выражение В1 является полным кубом, то:

В1 = (а + b) ^3;

Первое слагаемое примет вид:

∛В1 = ∛ (а + b) ^3 = а + b;

и можно избавиться от кубического корня.

Для решения задачи:

запишем уравнение для расчета а и b; выразим В1 и В2 в виде полных кубов; вычислим значение исходного выражения.

Воспользовавшись формулой для полного куба получаем:

(а + b) ^3 = а^3 + 3 * (а^2) * b + 3 * а * (b^2) + b^3 = 2 + √5;

Логично предположить, что одно из неизвестных, например, b пропорционально √5

b = k * √5;

В этом случае, получаем:

а^3 + 3 * (а^2) * b + 3 * а * (b^2) + b^3 = а^3 + 15 * а * k^2) + (5 * k^3 + 3 * (а^2) * k) * √5;

(а^3 + 15 * а * k^2) + (5 * k^3 + 3 * (а^2) * k) * √5 = 2 + √5;

Проверим, могут ли выполняться одновременно два равенства:

а^3 + 15 * а * k^2 = 2;

5 * k^3 + 3 * (а^2) * k = 1;

Если предположить, что:

a = k;

то оба равенства становятся идентичными:

16 * а^3 = 2;

8 * а^3 = 1;

Отсюда получаем:

a = k = 1/2;

Вычисление требуемого значения

Итак:

В1 = (1/2 + 1/2 * √5) ^3

Несложно проверить, что:

В2 = (1/2 - 1/2 * √5) ^3

Действительно:

(1/2 - 1/2 * √5) ^3 = 1/8 - 3/8 * √5 + 3/8 * 5 - 1/8 * 5 * √5 = 2 - √5;

Таким образом,

А = ∛В1 + ∛В2 = ∛ (1/2 + 1/2 * √5) ^3 + ∛ (1/2 - 1/2 * √5) ^3;

Далее:

А = (1/2 + 1/2 * √5) + (1/2 - 1/2 * √5) = 1;

Ответ: ∛ (2 + √5) + ∛ (2 - √5) = 1