Докажите, что если n - нечётное число, то значение выражения (n+2) ^2-1 делится на 8.

Обозначим нечетные числа как n=2k+1, где k - любое целое число.

Подставляем в выражение (n+2) ^2-1.

Получаем: (2k+1+2) ^2-1 = (2k+3) ^2-1

Преобразуем это выражение по формуле разности квадратов a^2-b^2 = (a+b) * (a-b), принимая 1 за квадрат единицы: (2k+3) ^2-1 = (2k+3+1) * (2k+3-1) = (2k+4) * (2k+2) = 2*2 * (k+2) * (k+1) = 4 * (k+2) * (k+1).

Поскольку k - любое целое число, получим, что либо (k+2), либо (k+1) - это четное число.

А четное число, умноженное на 4, будет обязательно делиться на 8, что и требовалось доказать.