Существуют ли такие натуральные а, б, с, что (а+в) (б+с) (с+а) = 340?

Разложим число 340 на множители:

340 = 2 * 2 * 5 * 17 = 2² * 5 * 17 = 4 * 5 * 17 = 2 * 10 * 17 = 2 * 5 * 34 = 2 * 2 * 85.

Из скобок (а + б), (б + с) и (с + а) четное значение принимает только одна скобка, иначе если бы две скобки были бы четными, тогда и третья скобка должна быть четной (чтобы получилось четное число 340), но тогда бы все выражение делилось бы на 2 * 2 * 2 = 8, но среди множителей 340 такого числа нет.

Значит, только одна скобка четная. Тогда (а + б) (б + с) (с + а) = 4 * 5 * 17.

Составим примерную систему:

а + б = 4;

б + с = 5;

с + а = 17.

Так как все три числа - натуральные, то из первого уравнения следует, что а меньше 4, из второго - что с меньше 5, но подставляя их в третье уравнение это невозможно.

Ответ: нет, не существует.