Решите неравентво: (x-2) ^2

Раскроем скобку в левой части неравенства по формуле (а - в) ^2 = а^2 - 2 ав + в^2. В правой части - умножим √3 на каждое слагаемое в скобке.

х^2 - 4 х + 4 < √3 х - 2√3;

х^2 - 4 х - √3 х + 4 + 2√3 < 0;

х^2 - (4 + √3) х + (4 + 2√3) < 0.

Решим методом интервалов. Найдем нули функции.

х^2 - (4 + √3) х + (4 + 2√3) = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - (4 + √3)) ^2 - 4 * 1 * (4 + 2√3) = 16 + 8√3 + 9 - 16 - 8√3 = 9; √D = 3;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (4 + √3 + 3) / 2 = (7 + √3) / 2;

x2 = (4 + √3 - 3) / 2 = (1 + √3) / 2.

Отметим числа (1 + √3) / 2 и (7 + √3) / 2 на числовой прямой. Эти числа делят прямую на интервалы: 1) (-∞; (1 + √3) / 2), 2) ((1 + √3) / 2; (7 + √3) / 2)), 3) ((7 + √3) / 2; + ∞).

На 1 и 3 промежутках выражение принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательной. Второй промежуток будет решением нашего неравенства.

Ответ. ((1 + √3) / 2; (7 + √3) / 2)).