Докажите, что ни при каких значениях переменной а многочлен а4 - 2 а3 + а2 не может принимать отрицательных значений.

Разложим многочлен на множители, вынесем общий множитель a² за скобку:

а⁴ - 2 а³ + а² = a² (a² - 2a + 1).

Разложим квадратные трехчлен в скобках на множители по формуле ax² + bx + c = а (x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

a² - 2a + 1 = (а - а₁) (а - а₂).

D = (-2) ² - 4 * 1 * 1 = 4 - 4 = 0 (один корень).

а_1,2 = 2/2 = 1.

Следовательно, a² - 2a + 1 = (а - 1) (а - 1) = (а - 1) ².

Значит, первоначальный многочлен принимает вид a² (а - 1) ², что представляет собой произведение двух квадратов. И так как квадрат любого числа - это положительное число, то и значение данного произведения будет всегда положительным.