Выполните действия (x/y+y/x) * xy/y^2+x^2

Нам нужно выполнить действия в заданном выражении (x/y + y/x) * (xy / (y^2 + x^2).

Чтобы выполнить действия составим алгоритм найдем общий знаменатель дробей в скобках; выполним сложение дробей в скобках; выполним умножение полученной дроби в результате сложения и второй дроби; сократим полученную дробь. Выполним действия в выражении

Вспомним правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю); во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Итак, нам нужно привести дроби x/y и y/x к общему знаменателю.

Общим знаменателем будет произведение знаменателей этих дробей - ух;

Умножим числитель и знаменатель первой дроби на х, а числитель и знаменатель второй дроби на у, получим:

х/у + у/х = x^2/yx + y^2/yx;

Правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.

Получаем:

x^2/yx + y^2/yx = (x^2 + y^2) / yx;

Теперь выполним умножение дробей. Для этого вспомним правило умножения обыкновенных дробей.

При умножении простой дроби на простую дробь, надо:

перемножить числители этих дробей и результат записать в числитель; перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель.

(x^2 + y^2) / yx * xy / (y^2 + x^2) = (x^2 + y^2) yx / (y^2 + x^2) xy;

Сократим полученную дробь на (x^2 + y^2) yx, получим:

(x^2 + y^2) yx / (y^2 + x^2) xy = 1.

Ответ: 1.

Решение:

1. Приводим подобные;

= (x/y + y/x) * x * 1/y + x^2 =;

2. Приводим дроби к общему знаменателю;

= (x^2 / (yx) + y^2 / (yx)) * x * 1/y + x^2 =;

3. Производим сложение дробей с одинаковыми знаменателями;

= (x^2 + y^2) / (yx) * x * 1/y + x^2 =;

4. Воспользуемся правилом умножения дробей;

= ((x^2 + y^2) * x) / yxy + 2^2=;

5. Воспользуемся свойством степеней. Производим сокращение;

= (x^2 + y^2) / y^2 + x^2 =;

6. Приводим дроби к общему знаменателю;

= (x^2 y^2) / y^2 + (x^2 + y^2) / y^2 =;

7. Производим сложение дробей с одинаковыми показателями;

= (x^2 y^2 + (x^2 + y^2)) / y^2 =;

= (x^2 y^2 + x^2 + y^2) / y^2;

Ответ: (x^2 y^2 + x^2 + y^2) / y^2.