Запишите пару взаимно простых чисел, для которых число: 1) 69 будет наименьшим общим кратным, 2) 85 будет наименьшим общим кратным.

Натуральные числа, НОД (наибольший общий делитель) которых равен единице, называются взаимно простыми числами.

Наименьшим общим кратным (НОК) двух взаимно простых чисел будет произведение этих чисел.

Если составное число представлено в виде произведения, все множители которого только простые числа, тогда составное число разложено на простые множители

Решение:

1. Разложим 69 на простые множители: 69 = 3 * 23

3 и 23 - взаимно простые числа, их НОК = 69.

2. Разложим 85 на простые множители: 85 = 5 * 17

5 и 17 - взаимно простые числа, их НОК = 85.

Нам необходимо записать пары взаимно простых чисел.

Разберем основное понятие

Два числа a и b называются взаимно простыми если их наибольший общий делитель равен единице. Данное определение можно записать следующим образом:

НОД (a, b) = 1

То есть, проще говоря, данные числа имеют всего два общих делителя, которые равняются 1 и - 1 соответственно.

Примерами таких чисел будут являться следующие пары чисел:

5 и 22

4 и 9

6 и 81

и так далее.

Взаимно простые числа обладают следующими свойствами:

числа a и b называются взаимно простыми, когда наибольший общий делитель равен единице НОД (a, b) = 1; существует такие целые x и y при которых выполняет следующие равенство: a * x + b * y = 1 любые два простых числа являются взаимно простыми; если число a является делителем произведения b * c, а также a и b являются взаимно простыми числами, a является делителем c; если числа a и b являются взаимно простыми, то наименьшее обще кратное данных чисел будет являться их произведением НОК (a, b) = a * b; дробь является несократимой когда числитель и знаменатель являются простыми числами. Решим поставленную задачу

1) НОК (a, b) = 69

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться одним из свойств взаимно простых чисел. А именно свойством №5.

То есть нам необходимо разложить число 69 на простые множители. Таковыми могут являться числа:

69 = 1 * 69;

69 = 3 * 23

Следовательно, в данном случае мы получаем следующие возможные пары чисел: 1 и 69; 3 и 23.

2) НОК (a, b) = 85

85 = 1 * 85;

85 = 5 * 17

Следовательно, у нас получаются пары: 1 и 85; 5 и 17.