В круг вписан квадрат. Какова вероятность того, что из 10 точек, брошенных наудачу независимо одна от другой внутрь круга, четыре попадут в квадрат, три - в один сегмент и по одной - в оставшиеся три сегмента?

1. Пусть:

R - радиус круга; a - сторона квадрата; s - площадь круга; s1 - площадь квадрата; s2 - площадь одного сегмента.

Тогда:

a = R√2; s = πR^2; s1 = a^2 = 2R^2; s2 = 1/4 * (s - s1) = 1/4 * (πR^2 - 2R^2) = R^2 (π - 2) / 4.

2. Обозначим:

p1 = s1/s = 2R^2/πR^2 = 2/π; p2 = (1 - 2/π) / 4.

3. Вероятности событий:

a) A - из 10 точек 4 попадут в квадрат;

P (A) = C (10, 4) * p1^4 * (4p2) ^6 = 210 * p1^4 * (4p2) ^6;

b) B - из 6 точек 3 попадут в один сегмент (вариантов выбора такого сегмента - 4);

P (B) = 4 * C (6, 3) * p2^3 * (3p2) ^3 = 80 * p2^3 * (3p2) ^3;

c) C - из 3 точек - по одной в оставшиеся три сегмента;

P (C) = 2/3 * 1/3 = 2/9.

4. Вероятность рассматриваемого события X равна произведению всех трех вероятностей:

P (X) = P (A) * P (B) * P (C); P (X) = 210 * p1^4 * (4p2) ^6 * 80 * p2^3 * (3p2) ^3 * 2/9 = 11200 * 4^6 * 3^2 * p1^4 * p2^12; P (X) ≈ 2,1427 * 10^ (-5).

Ответ: 2,1427 * 10^ (-5).