9. Найдите две последние цифры числа 1+9^78

1. Две последние цифры числа - остаток от деления этого числа на 100. Для решения задачи воспользуемся методом модульной арифметики.

2. Составим сравнения для степеней числа 9 по модулю 100:

9^1 ≡ 9 (mod 100); 9^2 ≡ 81 ≡ - 19 (mod 100); 9^3 ≡ - 171 ≡ 29 (mod 100); 9^4 ≡ 261 ≡ - 39 (mod 100); 9^5 ≡ - 351 ≡ 49 (mod 100); 9^6 ≡ 441 ≡ 41 (mod 100); 9^7 ≡ 369 ≡ - 31 (mod 100); 9^8 ≡ - 279 ≡ 21 (mod 100); (1) 9^9 ≡ 189 ≡ - 11 (mod 100); 9^10 ≡ - 99 ≡ 1 (mod 100). (2)

3. Возведем сравнение (2) в 7-ю степень и умножим на сравнение (1):

9^70 ≡ 1 (mod 100); 9^70 * 9^8 ≡ 1 * 21 (mod 100); 9^78 ≡ 21 (mod 100).

Ответ: 2 и 1.